문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 막의 진동 (문단 편집) === 원형 막 === 이 문단에서는 [math(xy)]평면 위에 반지름의 길이가 [math(R)]인 원형 막이 있다고 생각해보자. 문제 특성 상 분석이 가장 용이한 3차원 원통 좌표계를 고려하고, 막의 끝은 모두 고정되어 있음에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \psi(\rho=R)=0 )] }}} 이 경계 조건으로 사용된다. 파동 함수의 공간 성분을 [math(\rho)] 성분 [math(\Rho(\rho))], [math(\phi)] 성분 [math(\Phi(\phi))]의 곱으로 변수 분리한다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \psi(\rho,\,\phi)=\Rho(\rho) \Phi(\phi) )] }}} 따라서 위의 파동 방정식에 대입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\Phi}{\rho}\frac{d}{d \rho} \left( \rho \frac{d\Rho}{d \rho} \right)+\frac{\Rho}{\rho^{2}}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}+k^{2}\Rho \Phi=0 )] }}} 양변을 [math(\Rho \Phi)]로 나누고, [math(\rho^{2})]을 곱하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\rho}{\Rho}\frac{d}{d \rho} \left( \rho \frac{d\Rho}{d \rho} \right)+k^{2} \rho^{2}+ \frac{1}{\Phi}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}=0 )] }}} 이것을 정리하여 아래와 같이 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\rho}{\Rho}\frac{d}{d \rho} \left( \rho \frac{d\Rho}{d \rho} \right)+k^{2} \rho^{2}=- \frac{1}{\Phi}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}=m^{2} )] }}} 이 되고, [math(\phi)] 성분에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle - \frac{1}{\Phi}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}=m^{2} )] }}} 이므로 [math(\phi \sim e^{i m \phi})]임을 얻을 수 있다. 여기서 [math(e^{i m \phi}=e^{im (2 \pi+\phi )})]이어야 함을 고려하면, [math(m)]은 0을 포함한 자연수만 가능함을 알 수 있다. 한편, [math(\rho)] 성분은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \rho^{2} \frac{d^2 \Rho}{d \rho^{2}}+\rho \frac{d \Rho}{d \rho}+(k^{2} \rho^{2}-m^{2})\Rho=0 )] }}} 이고, 이 방정식은 베셀 방정식이다. 따라서 우리는 원형 막의 진동을 기술하는 파동 함수의 형태가 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \Psi=\begin{Bmatrix} J_{m}(k \rho)\\Y_{m}(k \rho) \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \sin{m \phi}\\\cos{m \phi} \end{Bmatrix} e^{-i \omega t} )] }}} 임을 알 수 있다. [math(J_{m}(k \rho))], [math(Y_{m}(k \rho))]는 각각 [[베셀 함수]], 노이먼 함수이다. 그러나 노이먼 함수는 [math( \rho \to 0)], [math(Y_{m}(k \rho) \to -\infty)]인 특성이 있어 우리가 현재 다루고 있는 물리적인 상황과 꽤 먼 거리에 있는 함수이기 때문에 이를 제외해야 하고, [math(\Psi(\rho=R)=0)]임을 고려하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J_{m}(kR)=0 )] }}} 이어야 한다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle kR \equiv j_{m,n} )] }}} 로 둘 수 있다. [math(j_{m,n})]은 [math(J_{m}(kr))]의 [math(n)]번째 영점이다. 이상에서 우리는 원형막을 기술하는 파동 함수가 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \Psi=\sum_{m,n} A_{m,n} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \sin{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n}}{R} \right)}+\sum_{m,n} B_{m,n} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \cos{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n} t}{R} \right)} )] }}} 으로 주어진다는 것을 얻는다. 여기서 [math(\omega_{m,n} \equiv j_{m,n} v/R)]이다. 이에 직사각형 막과 마찬가지로 고유 진동 모드 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \Psi_{m,n}^{(1)} &=A_{m,n} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \sin{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n} t}{R} \right)} \\ \Psi_{m,n}^{(2)} &=B_{m,n} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \cos{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n} t}{R} \right)} \end{aligned} )] }}} 의 합으로 주어진다는 것을 얻는다. 이때, 위에서 나왔듯 각 고유 진동 모드의 각진동수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \omega_{m,n} = \frac{j_{m,n}v}{R} )] }}} 이다. [[https://www.exoruskoh.me/post/2017/05/24/vibrating-membranes-and-fancy-animations|이곳]]에서 원형 막의 고유 진동 모드 양상을 볼 수 있다.(다만, 가장 바깥쪽 흰색 원형 선까지의 영역만 유효하다.)저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기